Definizione. Dato un insieme di $r$ elementi $S{\bf =} \{a_1,\dots, a_r\}$, siano $n_1,$ $\dots,$ $n_r\geq 0$ numeri interi e poniamo $n{\bf =}\sum_{i{\bf =}1}^r n_i$. Un elemento di $S^n$ (cioè una $n$-upla ordinata di elementi di $S$) tale che $a_i$ compare $n_i$ volte per $i{\bf =}1,\dots, r$ si dice una permutazione di $S$ con $n_1$ ripetizioni di $a_1,$ $\dots,$ $n_r$ ripetizioni di $a_r$, o, più brevemente, una permutazione con ripetizioni di $S$ di tipo $(n_1,\dots, n_r)$.
Proposizione. L'insieme delle permutazioni con ripetizioni degli elementi di $S$ di tipo $(n_1,\dots, n_r)$ ha cardinalità
$$ {n\choose n_1,\dots, n_r}\ \hbox{.} $$ Dimostrazione. >Esempio. In un ufficio si devono stabilire le ferie per $10$ impiegati e si hanno $3$ turni: nel primo vanno in ferie $3$ impiegati, nel secondo $4$ impiegati e nel terzo $3$ impiegati. Quante sono le assegnazioni possibili dei $10$ impiegati ai $3$ turni?
Notiamo prima di tutto che i turni sono ordinati ma all'interno di ogni turno l'ordine degli impiegati non conta. Ci sono ${10\choose 3}$ modi per scegliere gli impiegati del primo turno, ${7\choose 4}$ per scegliere, fra i rimanenti, quelli del secondo turno e i restanti $3$ impiegati vengono necessariamente assegnati al terzo turno (${3\choose 3}{\bf =}1$ scelta). Dunque il risultato è
${10\choose 3}\cdot$ ${7\choose 4}\cdot$ ${3\choose 3} {\bf =}$ ${10!\over 3!\cdot 4!\cdot 3!}{\bf =}$ $4200$.
Osservazione. ${n\choose n_1,\dots, n_r}$ è anche il numero di modi in cui si possono distribuire $n$ oggetti differenti in $r$ contenitori in modo che nell'$i$-esimo contenitore vi siano $n_i$ oggetti: basta infatti procedere come nella dimostrazione della (K), sostituendo le sottopopolazioni con i contenitori.