Quante sono le sequenze ordinate di 4 cifre tali che la loro somma sia pari a 7? Quanti sono i monomi nello sviluppo dell'espressione $(x_1+x_2+x_3+x_4)^7$? Quante sono le soluzioni intere e non negative dell'equazione in quattro incognite $x_1+x_2+x_3+x_4=7$?
In questa sezione risponderemo alle precedenti domande e scopriremo che la risposta è sempre la stessa!
L'equazione $x_1+x_2+x_3+x_4=7$ è una particolare equazione diofantea, cioè una equazione in due o più incognite a coefficienti interi di cui si ricercano le soluzioni intere. L'aggettivo diofanteo si riferisce a Diofanto di Alessandria, matematico greco del III secolo d.C.
Abbiamo visto che il numero di differenti modi di distribuire $r$ oggetti identici in $n$ scatole è
$$C_{n,r}^{(r)}={n{\bf +}r{\bf -}1\choose r}{\bf =}{n{\bf +}r{\bf -}1\choose n-1}$$dove l'uguaglianza discende dalla proprietà di simmetria del coefficiente binomiale.
Dato che gli oggetti sono identici, ogni combinazione può essere descritta (in modo unico) da un vettore $(x_1,\dots,x_n)$, dove $x_i$ è il numero di oggetti contenuti nella $i$-esima scatola (ovvero da una sequenza ordinata di $n$ cifre tali che la loro somma sia pari a $r$), e ad ognuno dei suddetti vettori corrisponde una e una sola soluzione intera non negativa dell'equazione diofantea $x_1+\dots+x_n=r$, la quale avrà dunque esattamente $C_{n,r}^{(r)}$ soluzioni intere non negative.